Halb-OT: Integral

[Mr.E]

Was genau steht denn in B und C?

[UweG]

Sieht eigentlich noch jemand eine Chance, eine Lösung in Termform zu finden?

B und C sind für die Integration reele Konstanten, A auch. Wenn es keine Lösung in Termform gibt, dann macht schon das Aufstellen des Integrals keinen Sinn, weil eine numerische Lösung existiert, die direkt von der Geometrie ausgeht und Vorausberechnungen vornimmt, die so nur numerisch möglich sind. Die eigentliche Integration über alle 8 Kanten ist nur eine einzige Schleife. Dagegen kommt eine (8-fache) numerische Lösung der Einzelintegrale nicht anm, weil der Term unter dem Integral dafür zu kompliziert ist. Das habe ich aber ganz am Anfang des Threads auch noch nicht realsisiert gehabt.

[ropf]

Eine Lösung ohne Reihenentwicklung sehe ich nicht.

Ähnlich beim fft-Ansatz. Malt man die Reflektionen der eizelnen Kantenelemente in ein Diagramm Zeit vs. Breite, liegen sie auf einer Hyperbel. Auf Achse ist es leicht, daraus einen Eingangsvektor für die fft zu machen - B fällt raus - aber schräg dazu wird es wieder kompliziert.

[Fraggle]

Späte Reaktion, aber hier würde ich doch gerne noch mal anknüpfen:

... aber mir geht da noch ein ziemlich abenteuerlicher Gedanke durch den Kopf. Im Prinzip ist diezu integrierende Funktion ein abklingender Sinus - wobei ich im Moment nicht sagen kann, wie die Abklingfunktion genau aussieht.

Wenn wir nun sowieso linear mit der Zeit fortschreiten - was ist, wenn wir statt eines Sinusses einen Diracimpuls drüberschicken?

... dann erzeugt jedes Kantenelement ebenfalls einen Dirac - und in der Summe haben wir eine "Impulsantwort der Halbkante" - die bei A beginnt - nach genau der oben gesuchten Funktion abklingt - und dort abgeschnitten ist, wo die Kante aufhört ...

Eine FFT über diese "Impulsantwort" müsste den Einfluss der Kante auf ALLE Frequenzen liefern nach Betrag und Phase. Auch könnte man die "Impulsantworten" aller Halbkanten erst zeitrichtig aufsummieren und die FFT nur einmal machen ...

Blödsinn?

Absolut nicht. Das Prinzip wurde mit Erfolg angewendet.
Ich denke, Peter Svensson ist ein Pionier auf diesem Gebiet, siehe z.B.:
U. Peter Svensson, Roger I. Fred, John Vanderkooy: An analytic secondary source model of edge diffraction impulse responses, J. Acoust. Soc. Am. 106 (5), November 1999

[UweG]

Was ist mit der Antwort in #25? Ich bestreite ja nicht, dass das funktioniert, aber es ist (zumindest für Boxsim) nicht effizient.

[ropf]

Ich hatte mit der Idee noch ein bisschen rumgespielt. Auf Achse ging das relativ gut, aber unter Winkeln wurde die Gewinnung der "Impulsantwort" schwierig.

Problematisch war, das nichtlineare Mapping von Kantenabschnitten auf Abtastzeitpunkte aliasingfrei hinzubekommen. Das spielt eine besondere Rolle, weil bei "gängigen" Abtastraten ein Grossteil der Energie auf ganz wenige Samples konzentriert ist (an dem Kantenabschnitt, der dem Chassis am nächsten liegt)

[Fraggle]

@UweG:
Wegen der Effizienz bin ich mir auch nicht so sicher. Irgendwie fasziniert mich aber Svenssons Methode, weil ich glaube, daß sie von der Effizienz der FFT profitieren kann.
Sie ist aber auch nicht ganz einfach umzusetzen. Ich wollte keine zu hohen Erwartungen wecken.

@ropf: Für das Problem der Abtastung schlägt Svensson folgenden Weg vor:
1. Um das Abtasttheorem nicht zu verletzen, wird die Beugungs-Impulsantwort vor der Abtastung grob tiefpaßgefiltert. Eine grobe, einfach umsetzbare Tiefpaßfilterung ist die Mittelwertbildung über einen Abtastzeitraum.
2. Weil eine solche Tiefpaßfilterung nicht besonders wirksam ist, muß zusätzlich eine stark erhöhte Abtastfrequenz gewählt werden.
3. Wie wird nun diese Mittelwertbildung realisiert?
4. Für die späteren Samples ist es vertretbar, den Mittelwert durch den Wert in der Mitte des betreffenden Zeitraums zu ersetzen. Der Fehler, der durch die Krümmung der Funktion entsteht, ist relativ klein, außerdem ist die Funktion selbst relativ klein, durch das Abklingen der Impulsantwort.
5. Für die frühen Samples wäre das zu grob, aber dann ist eine analytisch integrierbare Näherung der Impulsantwort möglich. Daraus kann dann der Mittelwert bestimmt werden.

[UweG]

Ich wollte keine zu hohen Erwartungen wecken.

Das tust Du nicht. Das Thema ist ja ohnehin gelöst. Inzwischen ist die numerische Integration so schnell, dass es keinen Sinn mehr macht, den Aufwand zu treiben, ein komplett anderes Verfahren zu implementieren. Sie hat gegenüber Boxsim 1.20 mehr als eine Zehnerpotenz zugelegt.

[Mr.E]

Der Kas is zwar eh bissn, aber ich hab nicht mehr den ganzen Thread im Kopf: Hat mal jemand versucht das Integral mit Maple zu lösen?

[UweG]

Ich nicht.