Halb-OT: Integral

[UweG]

@ropf: Das gebe ich mir nicht, aber als Ingenieur mit einer gewissen Affinität zur Mathematik kennt man sich mit "dreckiger" Mathematik irgendwann gut aus. Ich meine damit Vereinfachungen, die eigentlich unzulässig sind, aber de facto sehr nah an der Wirklichkeit.

@Timo: Die Geometrie ist gelöst. Sie steckt im inneren Teil der Formel. Wenn man mal Fasen außen vor lässt, dann wird auf Achse B und C an allen Kanten zu 0. Das dürfte das sein, was Edge macht. Für die Winkel nach oben wird an der Ober- und Unterkante B zu 0 und an den Seitenkanten wird C=0.
Die Geometrie liefert aber (zusammen mit der Schallgeschwindigkeit) nur Laufzeit, keinen Phasenwinkel. Erst mit der Phaseninformation weiß man, was man wie zu addieren hat. Sie ergibt sich durch die Skalierung der inneren Terme. Sowohl in A, B und C steckt überall ein 1/lambda drin. Der äußere Sinus bzw. Cosinus holt dann Realteil bzw. Imaginärteil aus der Laufzeitinformation.

[ropf]

Integration über die Länge der Kante wird evtl. einfacher - muss man bloss d_phi nach d_L umrechnen - macht dann ungleichmässig verteilte Stützstellen, die zu den Ecken hin dünner verteilt sind - oder bei konstanten d_L unterschiedlich gewichtete Stützstellen ...

... was ich gerade überlege - ob das nicht doppelt gemoppelt wäre - wenn der Beitrag eines Kantenelements d_L mit dem lokalen Schalldruck gewichtet wird. Schliesslich kommt der mit 1/r fallende Schalldruck genau dadurch zustande, dass ein Flächenelement der Kantenkänge d_L einen mit zunehmendem Abstand r einen immer kleineren Raumwinkel repräsentiert

[Fosti]

Hallo Uwe,

den einzigen Hoffnungsschimmer, den ich sehe, ist evtl. mit der komplexwertigen e-Funktion statt den trigonometrischen Ausdrücken zu arbeiten. Aber auch hier wird die Verschachtelung wohl zu groß sein.

Die Rechenregeln für e-Funktionen sind aber allemal leichter, als die Additionstheoreme für die trigonometrischen Ausdrücke.....deshalb rechnet man ja bei Wechselstrom auch cleverer Weise komplex. Bin darauf gekommen, weil Du was von "Real- und Imaginärteil abspalten" gesprochen hast.

Viele Grüße,
Christoph

[UweG]

@ropf:

Integration über die Länge der Kante wird evtl. einfacher ...

Wenn man die Stützstellen so legt, dass sie in konstantem Winkel zueinander liegen, dann ist das in der analytischen Formel so als ob man u = 1/cos(phi) substituiert. Numerisch ist es exakt die Integration über Winkel.
Integration über Länge mit konstantem Abstand hat Boxsim 0.irgendwas mal gemacht. Das funktioniert in dem Bereich, in dem die numerische Integration gut funktioniert wahrscheinlich tatsächlich noch etwas besser. Verlässt man aber diesen Bereich durch zu extreme Geometrie, dann gibt es nicht ein wenig unsinniges Gezappel im Hochtonbereich, sondern massive Fehler im Bereich um den Bafflestep, weil der Stützstellenabstand in dem Bereich wo viel passiert zu groß wird.
Die Gewichte muss man natürlich immer entsprechend den Stützstellenabständen bzw. der Winkelrepräsentanz setzen.

@Fosti: Mein Bronstein hat auch für exp( exp(...) + exp(...) ) keine Integrationsformel. Hast Du eine Idee, was man dann substituieren soll?

[ropf]

Bin immer noch beim analytischen Ansatz. Die Therme mit B und C lass ich erstmal weg. Der Therm A/cos(phi) beschreibt die Distanz R der Schallquelle zu einem Kantenelement - im Verhältnis zur Wellenlänge - womit auch der Sinus bzw. Cosinus vor der Klammer einen "Sinn" bekommt - da hatte ich die ganze Zeit eine Blockade ... dann ist die gesuchte Funktion

f = Integral (sin(R(phi)) * d_phi)

Versuchen wir entlang R zu integrieren, also d_phi durch d_R auszudrücken - dann wird vermutlich aus dem wilden Gezappel ein monoton fallender Sinus kostanter Frequenz:

R(phi) = A/cos(phi)
R'(phi) = A* sin(phi)/(cos(phi))²

OOps - für den Sinus brauchen wir noch die 3. Kante - ich nenne sie mal Y - für das Dreieck ARY

mit cos(phi) = A/R
und sin(phi) = Y/R

wird
R' (phi) = d_R/d_phi = A* (Y/R) / ( A/R)² = Y*R/A
d_phi = d_R * A / (R*Y)


dann wird die gesuchte Funktion

f(R) = Integral (A * sin(R)/R * (1/Wurzel(R²-A²)) d_R

...

[ropf]

Lösung von Integral(sin(x)/x)dx ist eine spezielle Reihe mit dem Namen Integralsinus Si(x)- siehe https://de.wikipedia.org/wiki/Integralsinus

Den sin(phi) hatte ich oben erst erst vergessen - zu früh gefreut. Aber Ein Matheprofessor kann das bestimmt partiell integrieren ...

[UweG]

@ropf: Ich habe die Formels jetzt auf die Schnelle nicht nachvollziehen können, aber selbst wenn das so funktioniert, fehlt da noch ziemlich viel.
- Es gibt nun mal auch die Terme mit B und C.
- Eine Rückführung auf den Integralsinus ist keine wirkliche analytische Lösung, weil auch der nicht in geschlossener Form errechenbar ist, sondern iteriert werden muss.

Meinst Du sowas?

Stimmt. Das kann man - wie man sieht.

[ropf]

Ich meine sowas wie auf Seite 20 von hier:
http://www.aes.org/tmpFiles/elib/20171123/17839.pdf

Hatte oben in der Ableitung erst ein sin übersehen und noch bearbeitet während du schon geantwortet hast- naja - zu früh gefreut.

[ropf]

Uwe - wenn das jetzt für boxsim nicht brauchbar ist - kein Ding - da stimmt sowieso nochwas nicht mit der Substution von d_phi durch d_R - bin da ziemlich aus der Übung - und den Therm B hab ich sowieso noch nicht verinnerlicht ...

... aber mir geht da noch ein ziemlich abenteuerlicher Gedanke durch den Kopf. Im Prinzip ist diezu integrierende Funktion ein abklingender Sinus - wobei ich im Moment nicht sagen kann, wie die Abklingfunktion genau aussieht.

Wenn wir nun sowieso linear mit der Zeit fortschreiten - was ist, wenn wir statt eines Sinusses einen Diracimpuls drüberschicken?

... dann erzeugt jedes Kantenelement ebenfalls einen Dirac - und in der Summe haben wir eine "Impulsantwort der Halbkante" - die bei A beginnt - nach genau der oben gesuchten Funktion abklingt - und dort abgeschnitten ist, wo die Kante aufhört ...

Eine FFT über diese "Impulsantwort" müsste den Einfluss der Kante auf ALLE Frequenzen liefern nach Betrag und Phase. Auch könnte man die "Impulsantworten" aller Halbkanten erst zeitrichtig aufsummieren und die FFT nur einmal machen ...

Blödsinn?

[UweG]

Auch könnte man die "Impulsantworten" aller Halbkanten erst zeitrichtig aufsummieren und die FFT nur einmal machen ...

Das könnte tatsächlich gehen. Das würde bedeuten (Beispiel Atlantis): 2880 Kantenintegrale hochaufgelöst im Zeitbereich + 360 FFTs an Stelle von 720000 Kantenintegralen. Das könnte lohnen, birgt aber noch ein paar Risiken. Wenn z. B. durch die begrenzte örtliche Diskretisierung im Frequenzbereich Kammfiltereffekte auftreten sollten, dann kann die Ermittlung der Pegel an den Simulationsfrequenzen Schwierigkeiten machen, denn die stimmen ja nicht mit den FFT-Frequenzen überein. Man braucht da eine sehr lange FFT.
Beispiel:
250 Frequenzen zwischen 20Hz und 20 kHz. Die zweite Frequenz liegt dann bei 20,56Hz.
Da reicht nicht mal eine 64k-FFT so ganz aus. Im oberen Bereich müssen dann über 1000 FFT-Amplituden betrachtet werden um eine Amplitude bei Simulationsfrequenz zu bekommen. Was ist wenn die sich in der Phase massiv unterscheiden? Real- und Imaginärteil separat mittel oder Leistungsmittelwert und Phase schätzen?
... alles nicht so einfach

[Mr.E]

Ich versteh’s noch nicht so ganz:

Der äußere Sinus bzw. Cosinus berechnet den Real- bzw. Imaginärteil des jeweiligen Schallanteils. Der Winkel phi ist umlaufend um die Schallwand, Mittelpunkt ist die Schallquelle. Der A/cos(phi) ist die Strecke auf der Schallwand (in Wellenlängen). Der Term mit dem Tangens beschreibt die Laufzeitdifferenz von dem jeweiligen Kantenstück zum Mikro relativ zu dem mit phi=0 und C ist dessen Versatz zum Mikro.

Was ist C genau? Was passiert mit den ersten beiden Termen an Schallwandecken? Läuft phi da einfach weiter? Ändern sich A und B da schlagartig? Was ist phi und wo ist phi=0?

Ich versuch nur gerade das nachzuvollziehen und aufzuzeichnen.

Das mit der FFT und deren Länge kann richtig ätzend werden, allein wenn man nur die Phase der Transformierten braucht. Da hilft es gar nicht unbedingt, die FFT »lang genug« zu machen. Wobei du es evtl. noch etwas leichter hast, dadurch daß du immer nur für eine Frequenz rechnest. Aber ehrlich gesagt verstehe ich dein Beispiel im Moment auch nicht. Ich hab gerade keine Vorstellung davon, wie die Simulation abläuft.

[UweG]

Das obige phi ist 0 an der Stelle wo der Schall vom Chassis senkrecht auf die Kante trifft, also z. B. in der Mitte der Kante.
An den Ecken ist das Integral u Ende und es beginnt ein neues mit anderem A, B, C.

Das mit der FFT bedeutet gerade, es bei der Schallwandsimulation nicht so zu machen, dass man eine Frequenz nach der anderen rechnet. Wenn man das machen muss, ist der Weg über die FFT tot.

Da fällt mir gerade ein: Statt FFT 250 mal DFT machen? Ich glaube, dass bringt's dann nicht mehr.

[Mr.E]

Dann hatte ich das mit phi richtig verstanden. Die Rechnung für jede Kante einzeln zu machen leuchtet natürlich ein (Wald, Bäume, und so). Aber was ist nun C? Und wie kommst du auf den Term mit Tangens? Anscheinend stehe ich heute total auf dem Schlauch.

Ich habe da gerade eine komplett andere Idee (die du aber vielleicht auch schon hattest und von der du womöglich weist, daß sie nicht funktioniert, was mich aber sehr wundern würde). Dafür müßte ich aber erst mal die Geometrie kapieren (was mir normal leichter fällt als heute ), und genau dafür brauche ich den zweiten und den dritten Term.

Edit: Die Idee funktioniert nicht. Aber die zwei Terme mit B und C würde ich trotzdem gern verstehen.

[UweG]

Wenn man mal Fasen außen vor lässt, dann wird auf Achse B und C an allen Kanten zu 0. Das dürfte das sein, was Edge macht. Für die Winkel nach oben wird an der Ober- und Unterkante B zu 0 und an den Seitenkanten wird C=0.

Ich versuche es nochmal anders: Die Terme mit B und C beschreiben den Laufzeitunterschied von der Kantenstelle bei phi=0 gegenüber dem Direktschall. C den konstanten Teil, B den mit der Position an der Kante veränderlichen. In Achsenrichtung, mit allen Chassis nach vorne und ohn Fasen ist B=0 und C=0. Kleiner Sonderfall, <1% des Rechenaufwands.

[ropf]

Hmmm - wie die Zuordnung von gleichmässig Verteilten fft-Frequenzen zu logverteilten Simulationsfrequenzen erfolgen sollte, kann ich auch nicht so aus dem Kalten sagen - hab mich schon öfter gewundert, wenn ich zB in REW die Frequenzachse von log auf linear umschalte, dass es anders aussieht als erwartet.


Die fft-Geschichte hat aber noch einen anderen Aspekt. Durch "Integrationsbeginn" mit t=0 an der Primärschallquelle (und nicht erst, wenn der Schall die Kante erreicht) fallen die ganzen komplizierenden Therme raus - der Beitrag der gesamten Halbkante wird schlicht zu einem Ausschnitt von 1/n - ganz unabhängig von Geometrie oder Frequenz.

Dh., bei Programmstart kannst du einfach einen mit 1/n belegten Vektor erzeugen. Ein Kantenintegral brauchst du dann nicht mehr - du wählst aus diesem Vektor schlicht einen Bereich mit Beginn Abstand Primärschaltquelle-Kante und Ende Abstand Primärschallquelle-Ecke, den du stur in den fft-Eingangsvektor hineinaddierst - für jede Halbkkante.

Wenn der max Abstand von einer Primärschallquelle zu einer Ecke beispielsweise 1m beträgt - sind imm fft-Engangsvektor bei 48kHz Samplerate maximal die ersten 140 Samples belegt - alles, wass danach kommt, ist Null.

Du kannst die fft-Länge also nach der gewünschten Frequenzauflösung wählen - eine 64k-fft liefert bei 48kHz Samplerate nach meinem Verständnis eine Frequenzauflösung von ~0,7Hz - reicht dir das nicht?

Irgendwelchen Aliasingproblemen - wie sie bei Integration über den Winkel durch die Zunahme von delta-t über phi zwangsläufig auftreten - gehst du mit diesem Ansatz vollständig aus dem Weg.

PS - unter horizontalen Winkeln würde das oben erwähnte Copy-Add für vertikale Kanten mit einem Schift in der Zeit erfolgen - für horizontele Kanten daraus ein Multiyply-Add mit einer Funktion, die ich noch nicht kenne - würde gern erstmal wissen, ob das Verfahren generellso funktionieren würde. B könnte man damit erschlagen.