Halb-OT: Integral

[UweG]

Ich habe das Monster jetzt mal in Pascal übersetzt und angenommen, dass O(x^7) mit 0*x^7 zu übersetzen iat:
Aus der Ausgabe von WIMS

int(f(x),x) = (((-b^5*sin(c+a))+20*b^3*sin(c+a)+
15*a^2*b*sin(c+a)-16*b*sin(c+a) +a*(10*b^3*cos(c+a)-
45*b*cos(c+a))) *x^6) /720 -((a*(5*sin(c+a)-6*b^2*sin(c+a))-b^4*cos(c+a)+8*b^2*cos(c+a)+3*a^2*cos(c+a)) *x^5)/120-(((-b^3*sin(c+a))+2*b*sin(c+a)+3*a*b*cos(c+a))*x^4)/24-
((a*sin(c+a)+b^2*cos(c+a))*x^3)/6-
(b*sin(c+a)*x^2)/2+
cos(c+a)*x + O(x^7) + C

habe ich folgenden (Pascal-)code gemacht:

result := ( ( (-power(b,5)*sin(c+a) ) + 20*power(b,3)*sin(c+a) +
              15*sqr(a)*b*sin(c+a) - 16*b*sin(c+a) +
              a*(10*power(b,3)*cos(c+a) - 45*b*cos(c+a)))
              * power(phi,6) ) / 720
          - ( ( a*(5*sin(c+a) - 6*sqr(b)*sin(c+a)) - power(b,4)*cos(c+a)
          + 8*sqr(b)*cos(c+a) + 3*sqr(a)*cos(c+a)) * power(phi,5) ) / 120
          -( ( (-power(b,3)*sin(c+a)) + 2*b*sin(c+a) + 3*a*b*cos(c+a) ) * power(phi,4) ) / 24
          -( (a*sin(c+a) + sqr(b)*cos(c+a))*power(phi,3) ) / 6
          -( b*sin(c+a)*sqr(phi)) / 2 + cos(c+a) * phi;

und herausgekommn ist das:

A = 10
B = 8
C = 5
phi1 = -75°
phi2 = 60°
cos analytisch = 208,024
cos numerisch  = -0,7603

Die numerische Lösung zum Vergleich hätte ich mir sparen können. Die richtige Lösung liegt auf jeden Fall zwischen -2,36 und +2,36 und ist betragsmäßig vermutlich einiges kleiner als 2,36. -0,76 sind plausibel.

[ropf]

Ich häng an der fft-Geschichte fest. Kann mir jemand helfen,

t/A = 1/cos(phi) + B*tan(phi)

nach phi=f(t) aufzulösen? Hab da grad ein Brett vorm Kopp.

[UweG]

Wolfram Alpha spuckt das aus:


Wolfram Alpha

Das ursprüngliche Integral integriert Wolfram Alpha auch nicht. Man erhält

"(no results in term form of standard mathmatical functions)"

[Mr.E]

Hast Du meinen Post zu O(x^7) gesehen?

Die Funktion im Integral ist ja im Grunde ein cos mit nichtkonstanter Periodendauer, gefenstert mit einer glockenförmigen Kurve. Das muß man doch irgendwie integrieren können …

Aber da fällt mir ein, daß ja noch Fragen offen sind (die Geometrie betreffend). Vielleicht braucht es am Ende ein ganz anderes Integral.

Ich häng an der fft-Geschichte fest. Kann mir jemand helfen,

t/A = 1/cos(phi) + B*tan(phi)

nach phi=f(t) aufzulösen? Hab da grad ein Brett vorm Kopp.

Kann das überhaupt gehen?

t/A = 1/cos(phi) + B*sin(phi)/cos(phi)

cos(phi) = A/t + A/t * B*sin(phi)

Und dann? arcsin oder arccos, aber beides?

[UweG]

@Mr.E:
Habe ich tatsächlich erst gelesen, als ich meinen Post schon geschrieben hatte. Ich habe damit wohl den Beweis angetreten, dass Du recht hattest mit dem O(x^7). Das O ist keine 0.

Aber da fällt mir ein, daß ja noch Fragen offen sind (die Geometrie betreffend). Vielleicht braucht es am Ende ein ganz anderes Integral.

Also die Geometrie eines Lautsprechers in Boxsim ist doch bekannt. Man kann die Formeln vom Eingangspost jetzt in diversen Varianten umformen, aber die Komplexität bleibt.

[ropf]

Die Verwirrung entstand wohl, weil zB A und C sowohl eine geometrische Länge als auch einen Winkel darstellen (der akustischen Phase).

Hab mal die Integration über R eingehackt, um dem sin bzw cos auf eine kostante Periodendauer zu trimmen, gleich in Form von Amplitude*e^(j*Phase) und bekomme für

A=10; B=8; C=5

phi1=74,74 --> Rmax1=38 (Wims mag keine Nachkommastellen an der Ecke )
-0.00824513140857 -0.0087201959451i

phi2=60 --> Rmax1=20
0.00760980839189 -0.0122543397289i

mit B=0 und phi=60
-0.400246880563 -0.0341897520816i


@Mr.E - nee, das funktioniert nicht - war ne schräge idee (meinPost weiter oben)
Wie bekomm ich den Output von Wims hier rein, der schaut relativ übersichtlich aus?

[Mr.E]

@UweG: Ich meinte die Sache mit dem Abstandsgesetz und endlichen Mikrofonabständen.

@ropf: Den Output von wims habe ich mit Gimp bearbeitet, nachdem ich (mit Pearl Crescent Page Saver oder so) einen Screenshot von der gesamten Seite gemacht habe (inkl. der Teile, die nicht ins Fenster passen).

[ropf]

Also die unbestimmte Form sieht so aus, die Lösung passt aber nicht auf den Bildschirm.



Setzt man konkrete Werte ein, wirds überschgaubarer:



X ist hier die Variable R, läuft von R=A=10 bis Rmax=A/cos(60°)=20

Hier noch der cos bzw sin vor der Integration - die konstante Periode ist gut zu erkennen:

[ropf]

und herausgekommn ist das:

A = 10
B = 8
C = 5

Hä? Sollte B nicht zwischen 0 (=auf Achse) und 1 (=90°) liegen?

[UweG]

B ist frequenzabhänging und wächst mit omega, aber auf Achse ist es tatsächlich 0.

[ropf]

Reden wir von dem selben B wie im Eingangspost?

Da steckt die Frequenzabhängigkeit bereits im Abstand A*tan(phi) eines Kantenelementes von der Achse. B - als Ausdruck der zusätzlichen Verzögerung abhängig vom Abstrahlwinkel - macht nur relativ dazu Sinn.Ich versuche es mal aufzumalen ...

... eigentlich als Sinus des Abstrahlwinkels, oder ich steh mal wieder auf dem Schlauch ...

[UweG]

Brauchst Du nicht aufmalen, ich weiß was Du meinst. Die "Abstände" hier sind aber nicht Abstände in Metern, sondern in lambda/2pi. Bedenke, dass der äußere Kosinus eine Wellenlänge weiter wieder den gleiche Phase hat.

Bei der doppelten Frequenz verdoppeln sich A, B und C. Das macht die Sache so häßlich, sonst müsste man das Integral nicht 720.000 mal berechnen.

P.S.: Wo steht denn was von A*tan(phi)?

[ropf]

Überschnitten.

Ahh - verdammt - ich hab die ganze Zeit mit einem A vor dem tan gerechnet.

... gäbe aber Sinn - B wäre dann der Sinus eines Abstrahlwinkels - der in der Formel nicht explizit auftaucht.

... der aussere sin bzw cos sind doch nur, um die Real- bzw. Imaginäranteile getrennt aufzusummieren ... also boxsimintern mag die Geometrie klar sein, mir grade nicht.

[UweG]

Die Geometrie ist:
A ist der Abstand von Chassismitte bis Kante
B wird <>0, wenn sich die Entfernung zum Mikro mit der Position auf der Kante ändert und
C verschiebt die ganze Kante.
Die Dimension von A, B, C ist aber nicht Meter oderZeit, sondern Phasenwinkel. A wird um 2pi größer, wenn eine Wellenlänge mehr zwischen Chassismitte und Kante passt.

[ropf]

Ok - so rum gehts auch.

Noch eine Idee - das Ergebnis der Integration ist eine Wechselgrösse mit Amplitude und Phase. Die Gesamtamplitude über ein Kantenintervall [0..phi] ist einfach phi/2pi - also brauchen wir "nur" noch die Phase - wie sie mit fortschreitender Integration rotiert ...

Edith sagt - das ist Blödsinn - gilt zwar für die Gesamtenergeie des Kantenelementes, die in den Raum gestrahlt wird - aber je nach Richtung unterschiedlich

... zur Verwirrung mit 1/r bzw 1/r² - natürlich ist der Schalldruck ~1/r - aber in die Länge eines Kantenelements im Abstand r zur Schallquelle geht natürlich auch der Einfallswinkel mit ein - das zweite r in r² entand einfach durch Substitution des Winkels.