Was macht den Schall beim BRrohr? - Eine Erklärung

[Violoncello]

Meinen Respekt für deine Motivation, das so korrekt und verständlich auszuarbeiten, und dabei sogar ohne die üblichen Denkmuster auszukommen!

Graz... du wirst doch nicht etwa auch... ?

[walwal]

"...Was sehen wir daraus nun?
Die Resonanzfrequenz liegt bei 100Hz..."

10 hoch 1 = 10, nicht 100

[Jakob]

Nun schließe ich das Rohr an die vormals geschlossene Box.
Dafür gehe ich von einer konstanten Druckverteilung über das gesamte Innere der Box aus. (Wieder die Vorraussetzung lambda/4 > Länge der Boxenabmessungen)
Somit ist:

p_Box ist der Druck in der Box

Ein Teil des Luft-Volumenstroms des Lautsprechers (q_Lsp) wird nun also auch durch die (neue) Öffnung entweichen.


Nun erinnern wir uns zurück was wollte ich eigentlich herleiten: "Wie verhält sich die Schnelle im BR-Rohr zur Schnelle des Lsp?"
Also noch schnell den Zusammenhang zwischen q und v herstellen.




Also heißt es jetzt nur mehr umformen.
Das erspare ich jetzt mal und liefere gleich das Ergebnis:



Nicht wundern die Resonanzfrequenz tritt ein, wenn der Realteil = 0 ist [Posting #7].
Die daraus folgende Resonanzfrequenzformel stimmt mit der allgemein bekannten überein (Link), wenn die entsprechenden Formeln/Abhängigkeiten für k und m eingesetzt werden.

Um das irgendwie auch begreifen zu können, hab ich das Ergebnis graphisch dargestellt.
Die Werte für k, m, und R wurden nach belieben gewählt, so dass man halt was sieht.
Das Flächenverhältnis des Rohres zum Lautsprecher hab ich auf 1 gesetzt.




Was sehen wir daraus nun?
Die Resonanzfrequenz liegt bei 10Hz. Die Dämpfung ist noch gering, so dass man die Überhöhung gut sehen kann.
Bei Resonanzfrequenz haben wir also (bei geringer Dämpfung) eine höhere Amplitude der Schnelle im BR-Rohr als am Lsp.
Noch interessante ist der Phasengang.
Bei hohen Frequenzen passiert eine Verdrehung der Phase, Dies bedeutet, die Abstrahlung ist IN-Phase mit der Vorderseite der Membran.
Allerdings ein Blick auf den Pegel zeigt: das ist zwar schön, bringt aber nicht mehr wirklich was an Pegelzuwachs.
Weiteres gilt bei höheren Frequenzen die ?/4-Vorraussetzung nicht mehr.
Bei tiefe Frequenzen hätten wir viel Pegel, allerdings IN-Phase mit der Membranrückseite, also GEGEN-Phasig zur Membranvorderseite. -> Akustischer Kurzschluss.
Bleibt noch der Bereich um die Resonanzfrequenz:
Die Phase wird um 90° gedreht. Damit haben wir noch positive Interferenz mit dem Schall der Membranvorderseite.
(Erst am 120° bzw. 240° zwischen Rohr und Membran-Vorne beginnt Auslöschung)
Und wir haben vielleicht (bei niedrigerer Dämpfung) sogar eine pegelmäßige Verstärkung. :-)


Für alle die bis zum Ende durchgehalten haben:
Ich hoffe es hat eurem Verständnis weiter geholfen. Wenn gewünscht, kann ich auch noch gerne die akustischen Ersatzschaltbilder + Analogien nachreichen.
Damit lässt sich das ganze auch wunderbar erklären.
Falls das ganze Thema gut ankommt überlege ich noch den Lsp-Teil dazu zu nehmen.
Immerhin ist uns allen klar, die Membran hat auch mechanische Eigenschaften und ihre Schnelle ist alles andere als konstant.
Aber für jetzt ist mal genug. :-)

LG Jakob

[Jakob]

Hallo liebe Forengemeinde!

Ich lese nun schon ein paar Wochen hier mit. Bei einem der letzten Threads zum Thema "Was macht den Schall beim BRrohr" hab ich mich dann so aufgeregt, dass ich mich extra angemeldet hab um meine Meinung kund zu tun.
Nach 1-2 Studen war ich Freigeschalten und der Ärger Gott sei Dank auch großteils verflogen.
Daher meine jetzige Intention, des "Phänomen" BR-Box zu erklären, immerhin wurde im vorherigen Thread viel geschrieben aber wenig erklärt.
Damit es auch keine Streiterei bzgl. Analogien gibt, werde ich es ganz ohne deren Hilfe herleiten. An vielen Stellen werde ich Vereinfachungen machen und es aufs Wesentliche reduzieren (wird dann aber angemerkt).

Zuerst mal die grundlegende Frage:
Was macht den Schall im BR-Rohr?
Wie immer passiert die Schallabgabe eines schwingenden Körpers (zB. Membran) an einen großen Raum (= keine Rückwirkung auf den Lps) über die Geschwindigkeit/Schnelle des Körpers (sowie Fläche, Schallkennimpedanz und Abstrahlgrad) [Posting #7].
Man kann sich vereinfacht vorstellen, dass die Luftteilchen durch die Bewegung angestoßen werden und dessen Geschwindigkeit als Schallschnelle übernehmen.
Die Leistung welche ein Lps oder das BR-Rohr abgibt, hängt also
(wenn man deren Abmessungen mal fixiert und den Einfluss der Frequenzabhängigkeit vernachlässigt) von deren effektiver Geschwindigkeit/Schnelle ab.
Beim BR-Rohr ist dies die Geschwindigkeit mit der der Luftpfropfen im Rohr bewegt wird. In der Akustik spricht man lustigerweise irgendwie eher von Schnelle als von Geschwindigkeit.

Ich gehe um den Zusammenhang zwischen Lsp und BR-Rohr zu zeigen, von einer konstanten effektiven Schnelle des LSP über alle Frequenzen aus
(das ist klarerweise in Wirklichkeit nicht so) und ich ignoriere auch die Frequenzabhängigkeit des Abstrahlgrades.
Die Frage ist also: wie hängt die Schnelle des Massepfropfens (egal ob als normale/mechanische Masse oder als akustische Masse gedacht) mit der Schnelle des Lsp zusammen?

Der Lsp (welcher jetzt mal vereinfacht weder Steife, Gewicht oder Reibung besitzt) produziert eine konstante effektive Schnelle (siehe meine vereinfachte Annahme oben).
Damit auch einen konstanten Volumenstrom.
Nun ist die Frage wohin geht das? Wird damit nur die Luft in der Box zusammengequetscht? Wie viel geht davon durch das BR-Rohr (und produziert damit Schall)?
Und welche Phasenlagen haben die Schwingungen zueinander?

Das Volumen im Gehäuse wirkt grob wie eine Feder:

F_Vol ... Kraft die auf das Boxeninnere einwirkt
k ... Federkonstante
x_Lsp ... Auslekung dieser Feder.

Je Größer das Gehäuse desto weicher ist die Feder (k = klein).
k ist auch stark abhängig vom Lsp-Durchmesser, da diese Abhängigkeit aber für diese Herleitung nicht relevant ist, lass ich sie weg.
Wenn man nun auf die Schnelle übergehen will (muss man fast) hilft die Fourier/Laplace-Transformation.

Omega ist die Kreisfrequenz = 2*pi*f.
Die Striche unter den Symbolen bedeutet, dass es sich um die Effektivwerte einer harmonischer Schwingung handelt. Dies von Grundauf zu erklären ist nicht einfach... Wenn das jemandem nicht klar ist, bitte ich es mir einfach zu glauben und es mit der Grafik unten zu versuchen.

Nun haben wir aber eine BR-Öffnung.
Wie sieht die Sache dort aus?
Wenn man davon ausgehen kann, dass die gesamte Luft im Rohr als ein Masspfropfen schwingt (lambda/4 > Länge des Rohres), kann man dort die typische Massenträgheitsgleichung nach Newton aufstellen:

Diese wird zu:
F_M ... Kraft welche auf den Luftpfropfen wirkt
m ... Masse des Luftpfropfens. Ja auch Luft hat ein Gewicht :-D
a ... Beschleunigung eben dieser Masse.

Auch hier ist die Masse klarerweise vom Durchmesser des Rohres abhängig (berücksichtigen wir jetzt aber mal nicht extra).
Dazu geben wir noch einen Schnelle proportionalen Widerstand (der Einfachheit halber auch ohne Abhängigkeit von Größe usw.):


Nun ergibt sich die gesamt notwendige Kraft für eine gewünschte Schnelle im Rohr zu:
[IMG]https://dl.dropboxusercontent.com/u/10380457/BR_Erkl%C3%A4rung/Formel_6.jpg[/IMG

Da wir davon ausgehen, dass beide Elemente (Widerstand und Masse) von der selben Schnelle betroffen sind, kann man diese herausheben.



Der Rest kommt gleich im nächsten Post, da die Beschränkung der Bildanzahl für meinen Beitrag zu gering ist.

LG Jakob